Xin gửi các bạn lời giải đề thi chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng.
Bài hình chuyên Toán PTNK 2015-2016
Hôm nay lục lại thấy bài hình này đẹp đẹp nên thử.
Bài toán. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn $(O).$ Gọi $M$ là trung điểm cạnh BC, $E$ là điểm chính giữa cung nhỏ BC, F đối xứng với E qua M.
a) Chứng minh $EB^2=EF\cdot EO.$
b) Gọi $D$ là giao điểm của $AE$ và $BC.$ Chứng minh tứ giác $AOFD$ nội tiếp.
c) Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ và $P$ là điểm thay đổi trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $IBC$ sao cho $P, O, E$ không thẳng hàng. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại $P$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác POF đi qua một điểm cố định.
Lời giải.
a) Có $OM\bot BC;EF\bot BC$ tại $M$ nên $O, F, M, E$ thẳng hàng. Kẻ đường kính $EJ$ của đường tròn $(O).$
Có: $EB^2=EM\cdot EJ=2EM\cdot EO=EF\cdot OE.$
b) Chứng minh ADFO nội tiếp.
Ta có: $\angle DFE=\angle DEF=\angle AEO=\angle EAO$ suy ra $A, D, O, F$ cùng thuộc một đường tròn.
c) Dễ có $A, I, E$ thẳng hàng, chú ý: $\angle EBC=\angle EAC=\angle BAI$ nên ta có
$\angle EBI=\angle EBC+\angle CBI=\angle BAI+\angle ABI =\angle BIE$ suy ra $EB = EI = EC$ suy ra E là tâm của $(IBC).$ Do vậy $EP^2=EB^2=EF\cdot EO$ suy ra $EP$ là tiếp tuyến.
Mà cung BC cố định nên E cố định. Vậy ta có đpcm.
2521
Bài toán. Với $a,b,c$ là ba số thực bất kỳ. Chứng minh rằng
$$4\left(a^6+b^6+c^6\right)+5\left(a^5b+b^5c+c^5a\right)\ge \dfrac{(a+b+c)^6}{27}.$$
Lời giải. Ta có
$$27\left[4\left(a^6+b^6+c^6\right)+5\left(a^5b+b^5c+c^5a\right)\right]-(a+b+c)^6$$
$$={\frac {1}{418495910519665315875436}}{c}^{2} \left( 1877899493539b +2231128254114c \right) ^{2} \left( b-c \right) ^{2}$$
$$+{\frac {1}{1227564566709386794764}}\left( b-c \right) ^{2} \left( 111426599762{b}^{2}+57572325931bc-66554368268{c}^{2} \right) ^{2 }$$
$$+{\frac {1}{4982400602455205424}}\left( 11016800022a{c}^{2}- 8322034448{b}^{3}-16516031087{b}^{2}c+953764263b{c}^{2}+ 12867501250{c}^{3} \right) ^{2}$$
$$+{\frac {1}{110170254068928}}\left( 41114072abc-13516246\,a{c}^{2} -63487932{b}^{3}-24871895{b}^{2}c+68571471b{c}^{2}-7809470{c}^ {3} \right) ^{2}$$
$$+{\frac {1}{92668107698496}} \left( 58951728a{b}^{2}+20957464abc- 61903346a{c}^{2}+23285292{b}^{3}+20567219{b}^{2}c-22826379b{c} ^{2}-39031978{c}^{3} \right) ^{2}$$
$$+{\frac {1}{145642643664}}\left( 3143864{a}^{2}c-684660a{b}^{2}+ 1346196abc-252458\,a{c}^{2}-539136{b}^{3}-876131{b}^{2}c+54651b{c}^{2}-2192326{c}^{3} \right) ^{2}$$
$$+{\frac {1}{9913764}}\left( 23163{a}^{2}b+6338{a}^{2}c+11364a{ b}^{2}+3372abc-5897a{c}^{2}-19512{b}^{3}-9398{b}^{2}c-2028b{ c}^{2}-7402{c}^{3} \right) ^{2}$$
$$+{\frac {1}{428}} \left( 214{a}^{3}+129{a}^{2}b-6{a}^{2}c-108a{b}^{2}-56abc-87a{c}^{2}-8{b}^{3}-30{b}^{2}c-44b{c}^{2}-4 {c}^{3} \right) ^{2}+{\frac {5083151117301}{1877899493539}}{c}^{4} \left( b-c \right) ^{2}$$
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Nhận xét.
- Biểu thức quá dài và xấu, mình sẽ tìm cách tốt hơn sau khi cải tiến chương trình.
- Bạn đọc có thể kiểm tra phân tích trên tại Github