Bài hình chuyên Toán PTNK 2015-2016

  Hôm nay lục lại thấy bài hình này đẹp đẹp nên thử.

Bài toán. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn $(O).$ Gọi $M$ là trung điểm cạnh BC, $E$ là điểm chính giữa cung nhỏ BC, F đối xứng với E qua M.

a) Chứng minh $EB^2=EF\cdot EO.$

b) Gọi $D$ là giao điểm của $AE$ và $BC.$ Chứng minh tứ giác $AOFD$ nội tiếp.

c) Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ và $P$ là điểm thay đổi trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $IBC$ sao cho $P, O, E$ không thẳng hàng. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại $P$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác POF đi qua một điểm cố định.

Lời giải.  

a) Có $OM\bot BC;EF\bot BC$ tại $M$ nên $O, F, M, E$ thẳng hàng. Kẻ đường kính $EJ$ của đường tròn $(O).$

Có: $EB^2=EM\cdot EJ=2EM\cdot EO=EF\cdot OE.$

b) Chứng minh ADFO nội tiếp.

Ta có: $\angle DFE=\angle DEF=\angle AEO=\angle EAO$ suy ra $A, D, O, F$ cùng thuộc một đường tròn.

c) Dễ có $A, I, E$ thẳng hàng, chú ý: $\angle EBC=\angle EAC=\angle BAI$ nên ta có

$\angle EBI=\angle EBC+\angle CBI=\angle BAI+\angle ABI =\angle BIE$ suy ra $EB = EI = EC$ suy ra E là tâm của $(IBC).$ Do vậy $EP^2=EB^2=EF\cdot EO$ suy ra $EP$ là tiếp tuyến.

Mà cung BC cố định nên E cố định. Vậy ta có đpcm.