WIKI

 Một số bất đẳng thức cơ bản cần nhớ.

Bất đẳng thức AM-GM.

Với mọi số thực dương $x_1,x_2,\cdots,x_n$ thì ta có:

\[\sum\limits_{i=1}^n {{x_i}}  \geqslant n\sqrt[n]{{\prod\limits_{i = 1}^n {{x_i}} }}\]

Bất đẳng thức Hölder.

Với các chuỗi $a_i,b_i,\cdots,z_i$ bất đẳng thức:

$$(a_1+a_2+\cdots+a_n)^{\lambda_a}\cdots (z_1+z_2+\cdots+z_n)^{\lambda_z}\geqslant \sum\limits_{i=1}^n a_i^{\lambda_a} b_i^{\lambda_b}\cdots z_i^{\lambda_z} $$

với mọi $\lambda_a+\lambda_b+\cdots+\lambda_z=1.$ Ví dụ$,$ khi $\lambda_a=\lambda_b=\dfrac{1}{2},$ nó trở thành

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

$$(a_1+a_2+\cdots +a_n)^{\frac{1}{2}} (b_1+b_2+\cdots +b_n)^{\frac{1}{2}}\geqslant a_1^{\frac{1}{2}} b_1^{\frac{1}{2}}+a_2^{\frac{1}{2}} b_2^{\frac{1}{2}}+\cdots a_n^{\frac{1}{2}} b_n^{\frac{1}{2}}$$