Xin gửi các bạn lời giải đề thi chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng.
Bài hình chuyên Toán PTNK 2015-2016
Hôm nay lục lại thấy bài hình này đẹp đẹp nên thử.
Bài toán. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là trung điểm cạnh BC, E là điểm chính giữa cung nhỏ BC, F đối xứng với E qua M.
a) Chứng minh EB^2=EF\cdot EO.
b) Gọi D là giao điểm của AE và BC. Chứng minh tứ giác AOFD nội tiếp.
c) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và P là điểm thay đổi trên đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC sao cho P, O, E không thẳng hàng. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại P của đường tròn ngoại tiếp tam giác POF đi qua một điểm cố định.
Lời giải.
a) Có OM\bot BC;EF\bot BC tại M nên O, F, M, E thẳng hàng. Kẻ đường kính EJ của đường tròn (O).
Có: EB^2=EM\cdot EJ=2EM\cdot EO=EF\cdot OE.
b) Chứng minh ADFO nội tiếp.
Ta có: \angle DFE=\angle DEF=\angle AEO=\angle EAO suy ra A, D, O, F cùng thuộc một đường tròn.
c) Dễ có A, I, E thẳng hàng, chú ý: \angle EBC=\angle EAC=\angle BAI nên ta có
\angle EBI=\angle EBC+\angle CBI=\angle BAI+\angle ABI =\angle BIE suy ra EB = EI = EC suy ra E là tâm của (IBC). Do vậy EP^2=EB^2=EF\cdot EO suy ra EP là tiếp tuyến.
Mà cung BC cố định nên E cố định. Vậy ta có đpcm.
2521
Bài toán. Với a,b,c là ba số thực bất kỳ. Chứng minh rằng
4\left(a^6+b^6+c^6\right)+5\left(a^5b+b^5c+c^5a\right)\ge \dfrac{(a+b+c)^6}{27}.
Lời giải. Ta có
27\left[4\left(a^6+b^6+c^6\right)+5\left(a^5b+b^5c+c^5a\right)\right]-(a+b+c)^6
={\frac {1}{418495910519665315875436}}{c}^{2} \left( 1877899493539b +2231128254114c \right) ^{2} \left( b-c \right) ^{2}
+{\frac {1}{1227564566709386794764}}\left( b-c \right) ^{2} \left( 111426599762{b}^{2}+57572325931bc-66554368268{c}^{2} \right) ^{2 }
+{\frac {1}{4982400602455205424}}\left( 11016800022a{c}^{2}- 8322034448{b}^{3}-16516031087{b}^{2}c+953764263b{c}^{2}+ 12867501250{c}^{3} \right) ^{2}
+{\frac {1}{110170254068928}}\left( 41114072abc-13516246\,a{c}^{2} -63487932{b}^{3}-24871895{b}^{2}c+68571471b{c}^{2}-7809470{c}^ {3} \right) ^{2}
+{\frac {1}{92668107698496}} \left( 58951728a{b}^{2}+20957464abc- 61903346a{c}^{2}+23285292{b}^{3}+20567219{b}^{2}c-22826379b{c} ^{2}-39031978{c}^{3} \right) ^{2}
+{\frac {1}{145642643664}}\left( 3143864{a}^{2}c-684660a{b}^{2}+ 1346196abc-252458\,a{c}^{2}-539136{b}^{3}-876131{b}^{2}c+54651b{c}^{2}-2192326{c}^{3} \right) ^{2}
+{\frac {1}{9913764}}\left( 23163{a}^{2}b+6338{a}^{2}c+11364a{ b}^{2}+3372abc-5897a{c}^{2}-19512{b}^{3}-9398{b}^{2}c-2028b{ c}^{2}-7402{c}^{3} \right) ^{2}
+{\frac {1}{428}} \left( 214{a}^{3}+129{a}^{2}b-6{a}^{2}c-108a{b}^{2}-56abc-87a{c}^{2}-8{b}^{3}-30{b}^{2}c-44b{c}^{2}-4 {c}^{3} \right) ^{2}+{\frac {5083151117301}{1877899493539}}{c}^{4} \left( b-c \right) ^{2}
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Nhận xét.
- Biểu thức quá dài và xấu, mình sẽ tìm cách tốt hơn sau khi cải tiến chương trình.
- Bạn đọc có thể kiểm tra phân tích trên tại Github