2592

 Bài toán. Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh:

$$\dfrac{b+c}{\sqrt{a^2+3bc}}+\dfrac{c+a}{\sqrt{b^2+3ca}}+\dfrac{a+b}{\sqrt{c^2+3ab}} \geqslant 3.$$

Lời giải. Sử dụng AM-GM: 

$$2\cdot2(a+b+c)\cdot3\sqrt{a^2+3bc}\leqslant 9(a^2+3bc)+4(a+b+c)^2. $$

Cần chứng minh: $$\sum \dfrac{b+c}{9(a^2+3bc)+4(a+b+c)^2}\geqslant \dfrac{1}{4(a+b+c)}.\quad (\text{1})$$

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với $ka+b+c,$ cần chứng minh$:$

$$ \dfrac{\displaystyle \left[\sum (b+c)(ka+b+c)\right]^2}{ \displaystyle \sum\left[9(a^2+3bc)+4(a+b+c)^2\right](b+c)(ka+b+c)^2} \geqslant \dfrac{1}{4(a+b+c)}$$

Bất đẳng thức này với mọi $0.501101841672046\leqslant k \leqslant 0.569702519378325,$

với $k$ là nghiệm của phương trình g. (Xem file Github ở cuối bài viết)

Ngoài ra bất đẳng thức $(\text{1})$ cũng có lời giải bằng SOS:

$$\dfrac{1}{8(a+b+c)}\sum{\dfrac { \left( 52\,{a}^{2}+95\,ab-142\,ac+52\,{b}^{2}-142\,bc+103\,{c }^{2} \right) \left( a-b \right) ^{2}}{ \left( 13\,{a}^{2}+35\,bc+8\, ab+8\,ac+4\,{b}^{2}+4\,{c}^{2} \right) \left( 13\,{b}^{2}+35\,ac+4\,{ a}^{2}+8\,ab+8\,bc+4\,{c}^{2} \right) }}\geqslant 0$$

(xem biểu thức F)

Ngoài ra còn một cách là sử dụng Holder, bạn thử tìm hiểu xem nhé:))

Github.