1792

Bài toán.  Cho $a,b,c >0.$ Chứng minh: $$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geqslant \dfrac{a+b}{b+c}+\dfrac{b+c}{a+b}+1$$

Lời giải. Sử dụng bất đẳng thức AM-GM:

$$\dfrac{1}{3}{a}^{3}{c}^{2}+\dfrac{1}{2}{b}^{3}{a}^{2}+\dfrac{1}{6}{c}^{2}{b}^{3} \geqslant a^2 b^2 c,$$

$$\dfrac{1}{2}{a}^{3}{c}^{2}+\dfrac{1}{2}{b}^{4}a+{c}^{3}{b}^{2} \geqslant 2b^2 c^2 a,$$

$$\dfrac{1}{6}{a}^{3}{c}^{2}+\dfrac{1}{2}{b}^{3}{a}^{2}+\dfrac{1}{2}{b}^{4}a+\dfrac{5}{6}{c}^{2}{b}^ {3}\geqslant 2{b}^{3}ca.$$

Cộng theo vế $3$ bất đẳng thức trên ta thu được đpcm.